002_Toán vào 10 chuyên_Khánh Hòa_2018-2019

Câu 1

1. Giải phương trình :

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số sao cho là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác cân

Câu 2 

1. Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có:

2. Cho 3 số khác 0 thỏa mãn :

Tính

Câu 3 Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với hai điểm B và O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N

1. Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp

2. Tính giá trị:

3. Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi H di động trên đoạn thẳng BO

Câu 4 Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Câu 1

1. Giải phương trình

Điều kiện xác định

Đặt

Phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho :

TH1:Tam giác đều thì có 9 số được lập

TH2: Xét . Vì (bất đẳng thức tam giác) nên:

không có giá trị nào của c

+) có 2 cách chọn c

có 4 cách chọn c

có 6 cách chọn c

có 8 cách chọn c

có 8 cách chọn c

có 8 cách chọn c

có 8 cách chọn c

có 8 cách chọn c

Vậy trường hợp này có 52 số thỏa mãn 

Do vai trò của như nhau nên : (số)

Vậy có tất cả số thỏa mãn

Câu 2

Ta có:

Từ đó 

Hơn nữa các mũ của Q đều lẻ nên có ít nhất 1 thừa số bằng 0. Vậy

Câu 3:

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng  )

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng hệ thức lượng ta có:

Vậy giá trị của P là

Ta dễ dàng có :

Do tứ giác nội tiếp:

Tứ giác nội tiếp (cmt) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Tam giác cân tại O (OA = OC)  (3) (hai góc ở đáy)

Từ (1) (2) (3) suy ra 

là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

Trong tam giác vuông KAB ta chứng minh được AE là đường trung tuyến

cân tại E

Ta có: . Do vậy theo định lý Ta lét ta có:

Mà

Từ đó suy ra I là trung điểm của AH

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Câu 4:

Ta có:

Đặt thì bất đẳng thức đã cho trở thành :

Ta lại có:

Từ đó ta có điều phải chứng minh 

Câu 5:

Gọi A là địa điểm có nhiều tuyến đường nhất (gồm ca đường  xuất phát từ A và đi đến A). Các địa điểm còn lại ta chia thành 3 loại:

Loại 1: Các đường xuất phát từ A có tuyến đường

Loại 2: Các tuyến đi đến A có tuyến

Loại 3: Không có tuyến đi và đến A có tuyến

Do và:

Số tuyến liên quan đến A có tuyến

Số tuyến không liên quan đến A không vượt quá

Gọi S là số cách thiết lập đi hết 18 địa danh thì:

(Áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy có tối đa 108 cách thiết lập đi hết 18 địa danh trên