003_Toán vào 10 chuyên_Nam Định_2018-2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học: 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút.

(Đề thi gồm: 01 trang)

Họ và tên thí sinh: ......................................................

Số báo danh: ..............................................................

Họ tên, chữ ký GT 1:........................................

Họ tên, chữ ký GT 2:........................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học:  2018 - 2019

Môn : TOÁN (chuyên)

(Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm) 

Điều kiện:

0,25

0,25

0,25

0,25

b) (1,0 điểm)

Đặt

Ta có                                   

0,25

0,25

Áp dụng đẳng thức trên ta được                                  

0,25

    = (điều phải chứng minh)                                       

0,25

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm)    

Điều kiện:

Đặt

0,25

PT (1) trở thành  

0,25

Với thì (thỏa mãn điều kiện)

Với thì (vô nghiệm)

0,25

Phương trình có tập nghiệm

0,25

2) (1,0 điểm)   

 Điều kiện

Hệ đã cho tương đương

Nhận xét: và không thỏa mãn, do đó

0,25

. Thế vào (2) ta được phương trình

0,25

Với thì

. 

0,25

Do đó

thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là

0,25

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm).

Ta có

 nên tứ giác nội tiếp.

0,25

mà (vì cùng phụ với )

.

0,25

đồng dạng với (vì

chung và ) 

0,25

Do đó  

0,25

b) (1,0 điểm). 

Xét tam giác vuông ABN có

mà suy ra hay cân tai B suy ra .  (1)

0,25

Mặt khác, theo câu trên ta có và suy ra. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hay cân tại P .

0,25

Vì và nên .

0,25

Suy ra là đường phân giác của các góc  và .

Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP.

0,25

c) (1,0 điểm).  

Gọi giao điểm của với lần lượt là và .

Ta có (vì cùng phụ ). Suy ra

Mặt khác  

Suy ra đồng dạng với .

Do dó mà .

0,25

đồng dạng với (vì và ).

Suy ra .

Suy ra tứ giác nội tiếp .

Suy ra cân tại .

0,25

Ta có (g.c.g) suy ra và .

Tương tự cũng có .

0,25

Chu vi tam giác là

Ta có .

Suy ra chu vi tam giác lớn nhất bằng khi , hay nằm chính giữa nửa đường tròn đường kính

0,25

Nội dung

Điểm

a) (0,75 điểm). 

Phương trình đã cho tương đương

Ta có Mặt khác từ (1) ta có là số lẻ, nên

0,25

Với

Với

Với

Với

0,25

Vậy có 4 cặp số nguyênthỏa mãn là:

0,25

b) (0,75 điểm). 

Đặt . Khi đó chia hết cho 6 khi chia hết cho 6.

Nếu chẵn thì lẻ, do đó không chia hết cho 6. Suy ra

0,25

Với không chia hết cho 6.

Với .

Với không chia hết cho 6.

0,25

Suy ra Mà

Vậy có tất cả 337 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

0,25

Nội dung

Điểm

a) (0,75 điểm).  

Bất đẳng thức đã cho tương đương

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có

                                                                 và

0,25

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh tương tự ta cũng có

0,25

Từ (3) và (4) suy ra (điều phải chứng minh)

Dấu xảy ra khi

0,25

b) (0,75 điểm).

        Nếu tất cả 100 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì bài toán hiển nhiên đúng.

0,25

        Nếu không phải cả 100 điểm đều thẳng hàng. Ta chọn ra bốn điểm mà không phải tất cả đều thẳng hàng. Theo giả thiết trong 4 điểm phải có 3 điểm thẳng hàng, giả sử 3 điểm thuộc đường thẳng , còn điểm nằm ngoài đường thẳng . Ta sẽ chứng minh 96 điểm còn lại thuộc đường thẳng bằng phương pháp phản chứng.

        Giả sử trong 96 điểm còn lại, tồn tại điểm nằm ngoài đường thẳng . Xét bốn điểm phải có 3 điểm thẳng hàng. Do 3 điểm không thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng nên 3 điểm thẳng hàng hoặc 3 điểm thẳng hàng.

0,25

        Trường hợp 3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm không thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng, do đó trong 4 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng, trái với giả thiết.

         Trong trường hợp thẳng hàng thì tương tự, trong 4 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng, trái với giả thiết.

         Như vậy ngoài 3 điểm thuộc đường thẳng , phải có 96 điểm nữa cùng thuộc . Bài toán được chứng minh.

0,25