NAM ĐỊNH |
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút. (Đề thi gồm: 01 trang) |
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC (). Kẻ MH vuông góc với BC (
), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E.
a) Chứng minh
b) Từ C kẻ (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP.
c) Cho . Gọi
lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
và
. Xác định vị trí điểm
để chu vi tam giác
lớn nhất.
Câu 4 (1,5 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn
b) Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá 2019 thỏa mãn
chia hết cho 6.
Câu 5 (1,5 điểm).
a) Cho các số thực dương thỏa mãn
.
Chứng minh rằng
b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng.
-------HẾT-------
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .............................................................. |
Họ tên, chữ ký GT 1:........................................ Họ tên, chữ ký GT 2:........................................ |
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH |
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2018 - 2019 Môn : TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) |
Câu 1: (2,0 điểm)
Nội dung |
Điểm |
a) (1,0 điểm) Điều kiện: |
0,25 |
|
0,25 |
|
0,25 |
|
0,25 |
b) (1,0 điểm) Đặt Ta có |
0,25 |
|
0,25 |
Áp dụng đẳng thức trên ta được |
0,25 |
= |
0,25 |
Câu 2: (2,0 điểm)
Nội dung |
Điểm |
a) (1,0 điểm) Điều kiện: Đặt |
0,25 |
PT (1) trở thành |
0,25 |
Với Với |
0,25 |
Phương trình có tập nghiệm |
0,25 |
2) (1,0 điểm) Điều kiện Hệ đã cho tương đương Nhận xét: |
0,25 |
|
0,25 |
Với
|
0,25 |
Do đó
|
0,25 |
Câu 3: (3,0 điểm)
Nội dung |
Điểm |
||
|
a) (1,0 điểm). Ta có nên tứ giác |
0,25 |
|
mà
|
0,25 |
||
chung và |
0,25 |
||
Do đó |
0,25 |
||
b) (1,0 điểm). Xét tam giác vuông ABN có mà |
0,25 |
||
Mặt khác, theo câu trên ta có Từ (1) và (2) suy ra |
0,25 |
||
Vì |
0,25 |
||
Suy ra Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. |
0,25 |
||
c) (1,0 điểm). |
Gọi giao điểm của Ta có Mặt khác Suy ra Do dó |
0,25 |
|
Suy ra Suy ra tứ giác Suy ra |
0,25 |
||
Ta có Tương tự cũng có |
0,25 |
||
Chu vi tam giác Ta có Suy ra chu vi tam giác |
0,25 |
Câu 4: (1,5 điểm)
Nội dung |
Điểm |
a) (0,75 điểm). Phương trình đã cho tương đương Ta có |
0,25 |
Với Với Với Với |
0,25 |
Vậy có 4 cặp số nguyên |
0,25 |
b) (0,75 điểm). Đặt Nếu |
0,25 |
Với Với Với |
0,25 |
Suy ra Vậy có tất cả 337 số tự nhiên |
0,25 |
Câu 5: (1,5 điểm)
Nội dung |
Điểm |
a) (0,75 điểm). Bất đẳng thức đã cho tương đương Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có và |
0,25 |
Từ (1) và (2) suy ra Chứng minh tương tự ta cũng có |
0,25 |
Từ (3) và (4) suy ra Dấu |
0,25 |
b) (0,75 điểm). Nếu tất cả 100 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì bài toán hiển nhiên đúng. |
0,25 |
Nếu không phải cả 100 điểm đều thẳng hàng. Ta chọn ra bốn điểm Giả sử trong 96 điểm còn lại, tồn tại điểm |
0,25 |
Trường hợp 3 điểm Trong trường hợp Như vậy ngoài 3 điểm |
0,25 |
Chú ý:
- Nếu thí sinh làm đúng, cách giải khác với đáp án, phù hơp kiến thức của chương trình THCS thì tổ chấm thống nhất cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm như hướng dẫn quy định.
- Tổng điểm toàn bài không làm tròn.
---------- HẾT ----------Tác giả bài viết: Lê Tâm
Ý kiến bạn đọc
Những tin mới hơn
Những tin cũ hơn