Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Thứ bảy - 22/02/2020 22:10
Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó.
I – ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ
Xét hàm số  có 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Khi đó, nếu  là điểm cực trị thì giá trị cực trị  được tính như sau:

II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Giả sử hàm số bậc ba  có hai điểm cực trị là . Khi đó, thực hiện phép chia  cho  ta được : 
Do đó, ta có: 
Suy ra, các điểm  nằm trên đường thẳng 
2. Áp dụng
a) Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số.
b) Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P.
III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau
a) 
b) 
Giải:
a) Ta có:
 có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia  cho  ta được

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là .
b) Ta có  có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Ví dụ 2: Cho hàm số  ( m là tham số )
a) Tìm  để hàm số có cực đại cực tiểu.
b) Với  như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giải:
a)  Ta có: 
 
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi 
b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: 
Ví dụ 3: Cho hàm số (1)
Tìm  để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng 
Giải:
Ta có: 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

 (1)
Thực hiện phép chia  cho  ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
.
Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng  ta phải có:

Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị  cần tìm là : 
Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm  để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng .
Giải:
Ta có: 
Hàm số có cực đại, cực tiểu 
Thực hiện phép chia  cho  ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng , ta phải có:
 thỏa điều kiện (*).

 

Tác giả bài viết: David Lee

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   
VIDEO DẠY HỌC
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây