Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Thứ bảy - 22/02/2020 22:16
Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( * \right) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

* Chọn được {x_0} là nghiệm

* Xét các hàm số y = f\left( x \right)\left( {{C_1}} \right) và y = g\left( x \right)\left( {{C_2}} \right). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến, một hàm số nghịch biến. Khi đó \left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ là {x_0}. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = c thì kết luận trên vẫn đúng.

Chúng ta lần lượt xét các ví dụ áp dụng mệnh đề trên.

Ví dụ 1 Giải phương trình

\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là với mọi x

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

\sqrt{{x^2}+15} -\sqrt{{x^2}+8} =3x-2 \Leftrightarrow\frac{7}{{\sqrt {{x^2}+15}+\sqrt{{x^2} + 8}}}=3x-2

Nếu x \le 0 thì phương trình vô nghiệm. Vậy ta xét x > 0

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=1

Xét f(x)=\sqrt{{x^2}+15}-3x+2-\sqrt{{x^2}+8}.

Ta có: f'\left( x \right) = x\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}} \right) - 3

Do x > 0 nên f'\left( x \right) < 0. Vậy hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

{x^5}+{x^3}-\sqrt {1 - 3x}+4=0

Lời giải: 

Điều kiện của phương trình 1 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=-1

Xét f\left(x\right)={x^5}+{x^3}-\sqrt {1-3x}+4 với x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]

Ta có: f'\left(x\right)=5{x^4}+3{x^2}+\frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x}}}>0 \forall x\in\left({-\infty;\frac{1}{3}}\right)

Do đó phương trình có duy nhất nghiệm là x=-1.

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các phương trình sau:

Bài 1: \sqrt x+\sqrt {x-5}=\sqrt 5

Bài 2: \sqrt x+\sqrt {x-5}+\sqrt {x+7}+\sqrt {x+16}=14

Bài 3: \ln\left({x-4}\right)=5-x

Bài 4: {2^x}+{3^x}+{5^x}=38

Tác giả bài viết: David Lee

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   
VIDEO DẠY HỌC
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây