Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Thứ bảy - 22/02/2020 22:50
Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 10. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.
  1. Cơ sở tính nhẩm
  2. Các dạng thường gặp
    • Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích
    • Loại 2: a + b + c = 0, a – b + c = 0
    • Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
    • Loại 4: Các loại khác
  3. Một số ví dụ vận dụng
  4. Bình luận

1. CƠ SỞ TÍNH NHẨM

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau:2
Định lí Vi-ét
Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:
* Nếu phương trình trình  có hai nghiệm  thì

* Ngược lại, nếu hai số  và  có tổng  và tích  thì  và  là các nghiệm của phương trình

2. CÁC DẠNG TÍNH NHẨM THƯỜNG GẶP

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

LOẠI 1: A = 1, B = TỔNG, C = TÍCH

* Nếu phương trình có dạng  thì phương trình đó có hai nhiệm  và .
* Nếu phương trình có dạng  thì phương trình có hai nghiệm  và 
Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm
Tóm lại:


Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số  thành tích và  thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số  trước rồi kết hợp với  để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng  và tổng bằng .
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:
Tích của hai nghiệm bằng , mà tổng lại bằng 
Ví dụ phương trình

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm 

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm 

LOẠI 2: A + B + C = 0 VÀ A – B + C = 0

* Nếu thay  vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc , với .
* Nếu thay  vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm , với .
Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

LOẠI 3: HAI NGHIỆM LÀ NGHỊCH ĐẢO CỦA NHAU

Nếu  và  thì phương trình (1) có dạng

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau . Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình
 có hai nghiệm 
 có hai nghiệm 

LOẠI 4: NHỮNG TRƯỜNG HỢP CÒN LẠI

Với một phương trình có hệ số  mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho , quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ ?3

3. MỘT SỐ VÍ DỤ VẬN DỤNG

Ví dụ 1. Phương trình
 có hai nghiệm  vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6
 có hai nghiệm  vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4
 có hai nghiệm  vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4
 có hai nghiệm  vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)
 có hai nghiệm  vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6
 có hai nghiệm  vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)
Ví dụ 2. Phương trình
4 có hai nghiệm , vì nó có dạng

 có hai nghiệm , vì nó có dạng

 có hai nghiệm , vì nó có dạng

Ví dụ 3. Phương trình
 có hai nghiệm 5
 có hai nghiệm 6
7

4. BÌNH LUẬN

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Bạn sẽ có thêm động lực tiến lên.
Đừng cảm thấy tiếc vì bụi hoa hồng có gai mà hãy vui vì trong bụi gai có hoa hồng.

Tác giả bài viết: David Lee

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   
VIDEO DẠY HỌC
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây